上一节中我们研究了物体的平衡条件。而不同的平衡位置，稳定性是不一样的。
假设物体在平衡位置受到一个扰动，产生一个小的位移（角位移），到达一个新的位置。如果物体能够自己回到原来的平衡位置，那我们称刚刚的平衡为稳定平衡。比如山谷底部一个小球，往上滚动一段距离，此时合力会使它回到谷底。
(相关资料图)
同理，如果物体偏离小位移后，合力使它更加远离平衡位置，则为不稳定平衡。比如山顶的一个小球，往下滚动一段距离，此时合力使它远离山顶。
特殊的，如果物体在新的位置依然可以保持平衡，则称为随遇平衡。随遇平衡比较少见，比如水平地面上的小球。
下面我们研究如何判断平衡的稳定性。
由定义，在判断物体平衡稳定性时，只需要假设物体沿某个方向有一个小位移（角位移），如果移动后的合外力（力矩）与位移（角位移）方向相反，就是稳定平衡。
例1.如图，一根质量为m的均匀杆，长为l，下端可绕固定水平轴转动。有两根水平弹簧，劲度系数相同，拴在杆的上端，使其杆处于竖直位置。那么弹簧的劲度系数为何值时，才能使杆处于稳定平衡？
解：
如图，假设杆逆时针转过小角度，此时两弹簧与水平夹角近似为0，忽略二阶小量，弹力可视为水平。杆上端移动小位移
由于两弹簧原来水平合力为0，转动后两弹簧的合力只需要考虑合力变化量即可：
此时顺时针的合力矩为
故
当4kl=mg时，一阶小量为0，要判断平衡，需要考虑更高阶的小量，一般情况下不做考察。
有同学想探究的话，用能量的方法更为简单，假设弹簧原长为d_0，初始长度为d.将能量按泰勒展开，可以算出此时能量的二阶小量和三阶小量也都为0，四阶小量为
此时为不稳定平衡。
当物体所受的主动力只有重力时，情况更为简单。
例2.如图所示，一块厚d的均匀木板位于半径为R的圆柱上，板的重心刚好在圆柱的轴上方。板与圆柱足够粗糙，板可以处于稳定平衡状态时，试求d与R满足的关系。
解：
如图，假设木板顺时针旋转角度，则此时合力矩只有重力，要使平衡稳定，只需要质心P在支点A的左侧，即
由于纯滚动，
代入上式，近似到一阶小量得
故
当d=2R时，二阶小量为0，近似到三阶小量，有
为不稳定平衡。
在本文开始介绍平衡种类时，不难得出，山顶山谷都是势能的极值点，山谷是势能的极小值点，山顶是势能的极大值点。由此可得势能对位移的导数与平衡的关系：
如果势能对位移的二阶导数也为零，那我们需要研究更高阶的导数，直到非零为止。
特殊的，如果所研究问题中只有重力势能。我们可以仿照第一种方法，假设一个小位移，观察重心是否升高即可。
在上一题中，要比较前后重心P'和P点的高度，可以通过比较他们相对O的高度。
P'相对O的高度
近似到二阶小量，P相对O的高度
故
后续讨论与上问相同。
练1.如图所示，均质杆AB的长度为a，一端靠在光滑的铅直墙上，另一端靠在光滑固定的侧面上，侧面为柱面，柱轴垂直Oxy面。如果要使杆子在Oxy面内的任意位置均是平衡位置，则侧面应是什么形状的柱面？
答案：x^2+(2y-a)^2=a^2，椭圆
练2.如图所示，儿童玩具不倒翁髙h=21cm，质量m=300g，相对轴KD对称分布．不倒翁的下部是半径R=6cm的半球面，如果不倒翁放在与水平面成角度\alpha=30°的粗糙面上，当它的轴KD与竖直方向倾角\beta=45°，则处于稳定平衡状态。为了使它在水平面上失去稳定平衡，试问最少需在头顶K处加塑泥的质量是多少（单位:g）？
答案：84g
标签：
